Liebe Sternfreunde,
im Journal wollte ich die Herleitung für die dei Mercator-Projektion nicht abdrucken. Diese Abbildung hat ja die Eigenschaft, dass kleine Gebiete stets sich selbst ähnlich sind, und nicht verzerrt, wie in nahezu allen anderen Projektionen. Diese Eigenschaft gestattet die Herleitung der Formel.
Die Länge eines Breitenkreises hängt vom Äquatorabstand, also von der Breite φ selbst ab. Gegenüber dem Äquator hat jeder Kreis die Länge cos φ, ist also verkürzt. Im kartesichen Koordinatensystem sind sie aber alle gleich lang, d.h. sie sind hie rum den Faktor 1/cos φ verlängert.
Eine schmale Fläche in der Nähe dieses Breitenkreises muss in Nord-Süd-Richtung auch um den Faktor 1/φ vergrößert werden, damit Längen- und Breitenkreise gleich lang sind, und damit das Gebiet sich selbst ähnlich bleibt.
Ein Koordinatenpunkt muss in Nord-Süd-Richtung die "gesammelten" (summierten) kleinen Verschiebungen jedes Breitenkreises enthalten. Seine Position ergibt sich aus dem Integral, was ja nichts weiter ist als eine Summe unendlich kleiner Teile
Code:
φ
y = ∫ (1/cos γ) d γ
0
γ ist dabei der Winkel, der für die Integration vom Äquator bis φ läuft.
Dieses Integral lässt sich numerisch bestimmen, es hat den Wert
Code:
y = ln ( tan φ + 1 / cos φ)
Das ist die Formel, die im Programm enthalten ist.