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Zylinderprojektionen von Karten
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Author:  Uwe Pilz [ 24. July 2019, 09:40:43 AM ]
Post subject:  Zylinderprojektionen von Karten

Liebe Sternfreunde,

im gerade ausgelieferten Heft 70 ist mein erster Beitrag zu Kartenprojektionen abgedruckt. Seit ich mich mit diesem Thema befasst habe, kann ich nie mehr auf eine Landkarte schauen ohne zu mutmaßen, welche Projektion hier gewählt wurde. Das Programm gibt schön anschauliche Bilder nur durch eine große Liste von Koordinaten. Dieses serh lange Programm eignet sich nicht besonders gut für die Wiedergabe hier im Forum. Ich bitte euch deshalb, es aus dem Programmarchiv der Fachgruppe

http://fg-astrophysik.vdsastro.de/prg70.html

auszuschneiden.

Üblicherweise werde die Koordinatenpunkte durch Linien verbunden, um eine gefälligere Darstellung zu erhalten. Ich habe eine Koordinatenliste, welche dazu zusätzliche Informationen enthält - nämlich die, wann ein Streckenzug beendet ist und man den Stift absetzen muss. Schreibt mich bitte an, wenn ihr das braucht.

Ich habe mich für die Konvertierung nur der Punkte entschieden, weil dies dem wirklich benutzen Vorgehen entspricht. "Richtige" Karten enthalten ja nicht nur Umrisse, sondern je nach Anwendungszweck Farben, z.B. Staatsgebiete oder Oberflächenformationen. Hier wird ein hoch aufgelöstes Modell der Farben aus Ausgang genommen, und dann dieses Punkt für Punkt in die Projektion transportiert. Also auch dort, wo bei uns weiße Flächen sind, liegen Projektionsziele. Der kleine Formelsatz enthält dies alles. Was eben fehlt, ist ein ausführlicheres Modell. Aber ihr könnt ja selbst damit experimentieren und euch Modelle anlegen.

Author:  Uwe Pilz [ 30. July 2019, 11:20:39 AM ]
Post subject:  Re: Zylinderprojektionen von Karten

Liebe Sternfreunde,

im Journal wollte ich die Herleitung für die dei Mercator-Projektion nicht abdrucken. Diese Abbildung hat ja die Eigenschaft, dass kleine Gebiete stets sich selbst ähnlich sind, und nicht verzerrt, wie in nahezu allen anderen Projektionen. Diese Eigenschaft gestattet die Herleitung der Formel.

Die Länge eines Breitenkreises hängt vom Äquatorabstand, also von der Breite φ selbst ab. Gegenüber dem Äquator hat jeder Kreis die Länge cos φ, ist also verkürzt. Im kartesichen Koordinatensystem sind sie aber alle gleich lang, d.h. sie sind hie rum den Faktor 1/cos φ verlängert.

Eine schmale Fläche in der Nähe dieses Breitenkreises muss in Nord-Süd-Richtung auch um den Faktor 1/φ vergrößert werden, damit Längen- und Breitenkreise gleich lang sind, und damit das Gebiet sich selbst ähnlich bleibt.

Ein Koordinatenpunkt muss in Nord-Süd-Richtung die "gesammelten" (summierten) kleinen Verschiebungen jedes Breitenkreises enthalten. Seine Position ergibt sich aus dem Integral, was ja nichts weiter ist als eine Summe unendlich kleiner Teile
Code:
    φ
y = ∫ (1/cos γ) d γ
    0
γ ist dabei der Winkel, der für die Integration vom Äquator bis φ läuft.

Dieses Integral lässt sich numerisch bestimmen, es hat den Wert
Code:
y = ln ( tan φ + 1 / cos φ)
Das ist die Formel, die im Programm enthalten ist.

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