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Jenseits der Auflösungsgrenze!
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Autor:  Tobias Feger [ 29. Mai 2012, 23:09:13 PM ]
Betreff des Beitrags:  Jenseits der Auflösungsgrenze!
Hallo zusammen,

ich habe ein generelles Verständnisproblem was die Messung von Radialgeschwindigkeiten betrifft. Angenommen man möchte einen Stern vermessen dessen Radialgeschwindigkeit 1m/s beträgt. Die dazu benötigte Auflösung kann gemäß dem Doppler Gesetz (656nm als Referenzwellenlänge) folgendermaßen bestimmt werden:

dL = L * v/c = 2.18*10^-6nm

wobei dL (delta Lambda), v = 1m/s und c die Lichtgeschwindigkeit ist.
Daraus lässt sich dann das benötigte R ermitteln:

R = L / dL = 3^*10^8 (Dreihundertmillionen!!!)

So ... nimmt man einen gängigen Spektrographen wie etwa HARPS der ein Auflösungvermögen von R ~ 100000 liefert wäre eine Messung von 1m/s rein theoretisch ja gar nicht möglich. Das Verhältnis zwischen gefordertem und tatsächlich bereitgestelltem Auflösungsvermögen beträgt 3000. Angenommen das Auflösungselement beträgt exakt zwei Pixel (Nyquist Kriterium erfüllt) so ist der Wellenlängenversatz um 1/3000stel kleiner als das Auflösungelement selbst.

Mir ist bekannt, dass man über die Kreuzkorrelation, Verwendung mehrerer Linien und ordentlicher Druck / Temperatur Stabilisierung einiges an Performance herausholen kann. Aber leider verstehe ich den Zusammenhang noch nicht wirklich. Es wäre also super wenn mir das mal jemand verständlich erklären könnte.

Viele Grüße
Tobias
Autor:  Thomas Eversberg [ 30. Mai 2012, 08:55:43 AM ]
Betreff des Beitrags: 
Hallo Tobias!

Vorab: Ich bin kein Experte zu diesem Thema und ich habe auch keine praktische Erfahrung dazu. Ich gehe davon aus, dass Du Dich mit Kreuzkorrelationen und einer mathematischen Faltung auskennst. Trotzdem versuche ich eine kurze Erläuterung aus meiner Sicht. Ich denke, wir sind uns einig, dass eine Kreuzkorrelation die Voraussetzung für Messungen in diesem Genauigkeitsbereich ist. Bei einer Faltung bildet man das Integral

.

Wir schieben also die beiden Funktionen f und i entlang des gemeinsamen Definitionsraumes (hier ) und summieren alle Funktionswerte des Produktes beider Funktionen (Flächen unter den beiden Funktionen). In dem Beispielbild (oben f und i, unten o) kann man für zwei idealisierte Rechteckfunktionen (hier z.B. = 2 Pixel) sehen, dass ein gut definierter Maximalwert bei optimaler Überlappung eintritt, der sehr viel genauer definiert werden kann, als . Das ist bei Rechteckfunktionen natürlich sehr viel deutlicher als bei einer realen Linie. Nimmt man dann noch viele Linien (Echelle), erhöht sich die Genauigkeit der Bestimmung des Maximalwerts von um (N = Linienzahl). Praktische Zahlen kann ich leider nicht liefern, ich meine aber, dass die bei HARPS angegebene Genauigkeit von 1m/s schon die Grenze des heute Machbaren darstellt. Wenn ich das nun grob überschlage und annehme, dass a) der Peak auf 1/10 Pixel bestimmt werden kann und b) vielleicht 1000 Linien genutzt werden, lande ich schon in der Größenordung von HARPS (das ist aber wirklich nur geschätzt).

Die Details zu Nyquist beleuchte ich hier nicht extra und habe das Nyquistkriterium wie Du mit 2 Pixel angenommen.

Gruß, Thomas

Dateianhänge:
faltung.jpg
faltung.jpg [ 21.32 KiB | 4488 mal betrachtet ]
Autor:  Otmar Stahl [ 30. Mai 2012, 09:22:57 AM ]
Betreff des Beitrags:  Jenseits der Auflösungsgrenze!
Hallo Tobias,

On 05/29/2012 11:09 PM, Tobias Feger wrote:
Zitat:
Hallo zusammen,

ich habe ein generelles Verständnisproblem was die Messung von
Radialgeschwindigkeiten betrifft. Angenommen man möchte einen Stern
vermessen dessen Radialgeschwindigkeit 1m/s beträgt. Die dazu
benötigte Auflösung kann gemäß dem Doppler Gesetz (656nm als
Referenzwellenlänge) folgendermaßen bestimmt werden:

dL = L * v/c = 2.18*10^-6nm

wobei dL (delta Lambda), v = 1m/s und c die Lichtgeschwindigkeit
ist. Daraus lässt sich dann das benötigte R ermitteln:

R = L / dL = 3^*10^8 (Dreihundertmillionen!!!)

So ... nimmt man einen gängigen Spektrographen wie etwa HARPS der ein
Auflösungvermögen von R ~ 100000 liefert wäre eine Messung von 1m/s
rein theoretisch ja gar nicht möglich. Das Verhältnis zwischen
gefordertem und tatsächlich bereitgestelltem Auflösungsvermögen
beträgt 3000. Angenommen das Auflösungselement beträgt exakt zwei
Pixel (Nyquist Kriterium erfüllt) so ist der Wellenlängenversatz um
1/3000stel kleiner als das Auflösungelement.
Diese Rechnung stimmt. Aber Du kannst natürlich selbst bei einer
einzelnen Linie (scharf, nicht zu schwach) sehr viel genauer als
als ein Auflösungselement zentrieren. Das übliche 1/10-Pixel ist das
schon relativ schlecht. Harps und andere Planetensucher gewinnen
zusätzlich über die Linienanzahl, wobei die einfachste Art, mehrere
Linien zu messen, die Kreuzkorrelation ist.
Zitat:
Mir ist auch bekannt, dass man über die Kreuzkorrelation, Verwendung
mehrer Linien und ordentlicher Druck / Temperatur Stabilisierung
einiges an Performance herausholen kann. Aber leider verstehe ich den
Zusammenhang noch nicht wirklich. Es wäre also super wenn mir das mal
jemand verständlich erklären könnte.
Die Genauigkeit hängt, wenn der Apparat ausreichend stabil ist (was
nicht einfach zu bewerkstelligen ist) vom S/N und der Auflösung des
Spektrums, der Linienanzahl und der Linienschärfe ab
(Rotationsgeschwindigkeit). Aus den obigen Gründen ist die Genauigkeit
von 1 m/s auch nur bei kühleren Sternen (sonnenähnlich) möglich. Heißere
Sterne habe zu wenig und zu breite Linien.

Die genaue Formel ist z.B. in dem folgenden Paper abgeleitet:

http://articles.adsabs.harvard.edu//ful ... 7.000.html
Zitat:
Viele Grüße Tobias
Herzliche Grüße,
Otmar
Autor:  Lothar Schanne [ 30. Mai 2012, 16:12:00 PM ]
Betreff des Beitrags:  Re: Jenseits der Auflösungsgrenze!
Zitat:
Die Genauigkeit hängt, wenn der Apparat ausreichend stabil ist (was
nicht einfach zu bewerkstelligen ist) vom S/N und der Auflösung des
Spektrums, der Linienanzahl und der Linienschärfe ab
(Rotationsgeschwindigkeit). Aus den obigen Gründen ist die Genauigkeit
von 1 m/s auch nur bei kühleren Sternen (sonnenähnlich) möglich.
Hallo Tobi und Otmar,

die "Messung" eines Linienschwerpunktes (Zentrum) wird doch so durchgeführt, dass die Linie, welche durch wenige Pixelwerte gefittet werden muss, durch eine Funktion modelliert wird (z.B. ein Gaußprofil). Wenn nun eine Linie nicht diesem Modell entspricht, sondern Abweichungen zeigt, wird doch auch das Linienzentrum etwas fehlerhaft berechnet.

Sind dadurch solche Genauigkeiten nur an besonders symmetrischen und klar getrennten (definierten) Linien erreichbar?

OK, bei der Kreuzkorrelation wird das gesamte Spektrum (oder ein vorher definierter Ausschnitt) mit einem template zur Deckung gebracht. Da gelten meine obigen Anmerkungen bzgl. Fitting wohl nicht. Aber hier wird dann eine gute Übereinstimmung von template und auszuwertendem Spektrum vorausgesetzt (was die Profile und sonstige Störungen wie terr. Linien etc. betrifft).

Generell sollte jede Linie wohl mit möglichst vielen Pixeln abgedeckt sein (damit nicht nur 3 oder 4 Pixelwerte für eine komplette Linie zur Verfügung stehen). Wir dürfen ja nicht vergessen, dass unsere gemessenen Spektren auf Grund der Pixelung des Detektors aus auf- und absteigenden Treppenstufen besteht (und keinen kontinuierlichen Kurven, wie es uns die Programme bei entsprechender Einstellung im Graph vorgaukeln). Hier könnte es vermutlich fallweise besser sein, das Nyquist-Kriterium nicht zu befolgen und besser ein oversampling zuzulassen?
Autor:  Otmar Stahl [ 30. Mai 2012, 16:27:53 PM ]
Betreff des Beitrags:  Jenseits der Auflösungsgrenze!
Hallo Lothar,

On 05/30/2012 04:12 PM, Lothar Schanne wrote:
Zitat:
die "Messung" eines Linienschwerpunktes (Zentrum) wird doch so
durchgeführt, dass die Linie, welche durch wenige Pixelwerte gefittet
werden muss, durch eine Funktion modelliert wird (z.B. ein
Gaußprofil). Wenn nun eine Linie nicht diesem Modell entspricht,
sondern Abweichungen zeigt, wird doch auch das Linienzentrum etwas
fehlerhaft berechnet.
Ja, das stimmt im Prinzip. Wenn man das verbessern will, muss man die
PSF (point spread function) genau modellieren. Für sehr hohe Genauigkeit
ist das notwendig.
Zitat:
Sind dadurch solche Genauigkeiten nur an besonders symmetrischen und
klar getrennten (definierten) Linien erreichbar?
Kreuzkorrelationen macht man über viele Linien. Man kann es sich nicht
erlauben, die meisten Linien wegzuwerfen. Zentriert wird dann
schließlich der Peak der Kreuzkorrelationsfunktion.
Zitat:
OK, bei der Kreuzkorrelation wird das gesamte Spektrum (oder ein
vorher definierter Ausschnitt) mit einem template zur Deckung
gebracht. Da gelten meine obigen Anmerkungen bzgl. Fitting wohl
nicht. Aber hier wird dann eine gute Übereinstimmung von template und
auszuwertendem Spektrum vorausgesetzt (was die Profile und sonstige
Störungen wie terr. Linien etc. betrifft).
Terrestrische Linien und ähnliches muss man entfernen, sonst geht das
ganz schief. Dazu benutzt man i.a. eine Softwaremaske (0 oder 1), mit
der man das Spektrum multipliziert, und die nur in "guten" Bereichen 1 ist.
Zitat:
Generell sollte jede Linie wohl mit möglichst vielen Pixeln abgedeckt
sein (damit nicht nur 3 oder 4 Pixelwerte für eine komplette Linie
zur Verfügung stehen). Wir dürfen ja nicht vergessen, dass unsere
gemessenen Spektren auf Grund der Pixelung des Detektors aus auf- und
absteigenden Treppenstufen besteht (und keinen kontinuierlichen
Kurven, wie es uns die Programme bei entsprechender Einstellung im
Graph vorgaukeln). Hier könnte es vermutlich fallweise besser sein,
das Nyquist-Kriterium nicht zu befolgen und besser ein oversampling
zuzulassen?
Ja, es empfiehlt sich, etwas besser, als nach Nyquist vorgeschrieben, zu
samplen. Mehr als ca. 3 Pixel pro FWHM bringt aber nichts mehr.

Herzliche Grüße,
Otmar
Autor:  Christian Netzel [ 31. Mai 2012, 14:48:35 PM ]
Betreff des Beitrags: 
Hallo,
aus:
Physics@nature
A spectrograph for exoplanet observations calibrated at the centimetre-per-second level
Tobias Wilken et al.
Nature
doi:10.1038/nature11092
First Paragraph | Full Text | PDF

Paßt doch zum Thema oder?
Viele Grüße
Christian
Autor:  Otmar Stahl [ 31. Mai 2012, 14:59:43 PM ]
Betreff des Beitrags:  Jenseits der Auflösungsgrenze!
Hallo Christian,

On 05/31/2012 02:48 PM, Christian Netzel wrote:
Zitat:
Hallo,
aus:
Physics(==>)nature
A spectrograph for exoplanet observations calibrated at the centimetre-per-second level
Tobias Wilken et al.
Nature
doi:10.1038/nature11092
First Paragraph | Full Text | PDF

Paßt doch zum Thema oder?
Ja, das passt gut zum Thema. Lampen, bzw. deren Alterung, sind
tatsächlich eines der Probleme, wenn man sehr genau messen will.

Es gibt aber auch andere Probleme, an die man nicht sofort denkt: Z.B.
ändert sich die Geschwindigkeit der Erde während der Belichtung
merklich, vor allem wegen der Erdrotation. Man muss also die Mitte der
Belichtung sehr genau kennen (Sekunden oder besser), um die
heliozentrische Korrektur richtig zu berechnen. Mitte heißt hier, wann
die Hälfte der Photonen angekommen sind. Nachführfehler oder variable
Transparenz können sich da schon stark auswirken.

Von der Sorte Probleme gibt es noch mehr, z.B. sind nicht alle CCD-Pixel
exakt gleich groß usw.
Zitat:
Viele Grüße
Christian
Herzliche Grüße,
Otmar
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