Forum der Vereinigung der Sternfreunde

Liebe Sternfreunde, meine kleine Serie zur Dunklen Materie begann bereits im Heft 84, aber da war kein Programm dabei. Im Heft 85 nun erläutere ich, wie man die Gravitation im Inneren einer Galaxie und daraus abgeleitet die Rotationsgeschwindigkeit berechnen kann. Das Programm ist kurz:

# rotationGx - der dunklen Materie auf die Spur kommen
from turtle import *
from random import *
from math import *
from plot import *

def rho(r): # dichte: Quotient 2 pi wird benötigt, damit die Gesamtmasse 1 ist
    return 1.0 / (2 * pi) * exp(-r)

# Hauptprogramm. Rechenzeit ca. 30 Sekunden (PC im Jahr 2020)
rMax = 8.0             # bis zu welchem Radius?
Schritte = 100         # wieviele Schritte in r-Richtung?
initKoor(0,rMax,0.5, 0,1,0.1) 
d = rMax / Schritte    # Größe eines Quadrates, dessen Masse summiert wird
R = -d / 2.0
for i in range(1,Schritte + 1): # alle Ausgaben in r-Richtung
    R = R + d                   # groß-R ist der Radius, für den berechnet werden soll
    aX = 0                      # die Beschleunigung ist erst mal 0
    aY = 0
    x = -2 * rMax - d / 2       # x auf das äußert links liegende Feld
    for j in range(1,4 * Schritte + 1):
        x = x + d               # x einen Schritt in x-Richtung weiter
        y = -2 * rMax - d / 2   # y auf das äußerst unten liegende Feld
        for k in range(1, 4 * Schritte + 1):
            y = y + d           # einen Schritt in y-Richtung weiter
            r = sqrt(x*x + y*y) # Radius des Summanden-Feldes
            if (r <= 2 * rMax): # ist das innerhalb eines Kreises?
			    # ja!
                p = rho(r)                   # Dichte lesen
                dx = x - R                   # Abstand vom Zielpunkt ...
                dy = y
                dr = sqrt(dx * dx + dy * dy) # ... ist dr
                a = p / dr / dr      # Beschleunigung nach Gravitatiionsgesetz
                ax = a * dx / dr     # koordinatenweise aufteilen
                ay = a * dy / dr     # ay kann entfallen, weil insgesamt 0
                aX = aX + ax * d * d # Gesamtbeschleunigung koordinatenweise summieren
                aY = aY + ay * d * d # aY könnte entfallen: es kompensiert sich
    aX = abs(aX)                # nur der Betrag interessiert (ist nach innen gerichtet)
    w = sqrt(aX / R)            # Kreisfrequenz omega.
    #print(R, w*R, w, aX)
    Plot(R, w * R, 3, "black")  # w*R: omega * R = absolute Geschwindigkeit
update()
done()

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Uwe Pilz, Fachgruppen Kometen und Astrophysik/Algorithmen.
Oft benutzte Instrumente: Fujinon 16x70 FMT-SX-2, TMB Apo 105/650, Skywatcher Evostar 120/900 ED, Ninja Dobson 320/1440, Smartscope Dwarf-3

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LG Rudolf S.
Österreichischer Astronomischer Verein (ÖAV)
Vereinigung der Sternfreunde e.V.
Visueller Beobachter/DeepSky, Sonne, Mond
Meteorscatter mit SDRPlay1 +1a / HDSDR / SpecLab
Beim Beobachten von einzigartigen Deep-Sky-Objekten müssen die Tränen der Ergriffenheit zum Ohr hin abfließen.

Liebe Sternfreunde, anbei das leicht modifizierte Programm, was die zusätzliche Dunkle Materie mit berücksichtigt. Es ist alles normiert, so dass die zusätzliche Dunkle Materie mit zwei Angaben beschrieben werden kann. Diese sind im Programm zu setzen:

fM = 6.5 # Gesamtmasse der Dunklen Materie, bezogen auf die Masse der leuchtenden
         # Materie
fR = 6.9 # wievielfach größer ist der charakteristische Radius der Dunklen Materie?

Die Messwerte des Beispiels stehen auf der Variable n3198. Hier könnt ihr auch was anderes einsetzen (und dann noch den "Kommentar debuggen", d.h. die Variable so umnennen, dass auch die beschriebene Galaxie erkennbar ist).

# rotationGxDm.py - der dunklen Materie auf die Spur kommen
from turtle import *
from random import *
from math import *
from plot import *

n3198 = [[0.229403, 0.241472],
[0.516157, 0.403917],
[0.74556, 0.482944],
[1.03231, 0.535629],
[1.26172, 0.579533],
[1.49112, 0.619046],
[1.77787, 0.632218],
[2.00728, 0.645389],
[2.23668, 0.649779],
[2.52343, 0.66295],
[2.75284, 0.676122],
[2.98224, 0.680512],
[3.4984, 0.684902],
[3.9572, 0.667341],
[4.47336, 0.667341],
[4.98951, 0.671731],
[5.39097, 0.667341],
[5.96448, 0.65856],
[6.99679, 0.65417],
[7.4556, 0.645389],
[7.97175, 0.649779],
[8.43056, 0.65417],
[8.94672, 0.65417],
[9.46287, 0.656365],
[9.86433, 0.660755],
[10.4378, 0.660755],
[10.8966, 0.65856]]

def rho(r, fM, fR): 
    # Dichte der leuchtenden Materie : Quotient 2 pi wird benötigt, damit die
    # Gesamtmasse 1 ist
    pLM = 1.0 / (2 * pi) * exp(-r)
    # Dichte der dunklen Materie: Quotient 2 pi · fr² wird benötigt, damit die
    # Gesamtmasse 1 ist
    pDM = 1.0 / (2 * pi * fR * fR) * exp(-r / fR)
    # die Dunkle Materie geht mit einem Massenfaktor ein
    return pLM + fM * pDM

# Hauptprogramm.  Rechenzeit ca.  90 Sekunden (PC im Jahr 2020)
rMax = 11.0             # bis zu welchem Radius?
Schritte = 100         # wieviele Schritte in r-Richtung?
fM = 6.5 # Gesamtmasse der Dunklen Materie, bezogen auf die Masse der leuchtenden
         # Materie
fR = 6.9 # wievielfach größer ist der charakteristische Radius der Dunklen Materie?
initKoor(0,rMax,1.0, 0,1,0.1) 
d = rMax / Schritte    # Größe eines Quadrates, dessen Masse summiert wird
R = -d / 2.0
# die Messwerte zeichnen
for i in range(27):
    Plot(n3198[i][0], n3198[i][1], 5, "red")
# die Simulation rechnen und zeichnen
for i in range(1,Schritte + 1): # alle Ausgaben in r-Richtung
    R = R + d                   # groß-R ist der Radius, für den berechnet werden soll
    aX = 0                      # die Beschleunigung ist erst mal 0
    aY = 0
    x = -2 * rMax - d / 2       # x auf das äußert links liegende Feld
    for j in range(1,4 * Schritte + 1):
        x = x + d               # x einen Schritt in x-Richtung weiter
        y = -2 * rMax - d / 2   # y auf das äußerst unten liegende Feld
        for k in range(1, 4 * Schritte + 1):
            y = y + d           # einen Schritt in y-Richtung weiter
            r = sqrt(x * x + y * y) # Radius des Summanden-Feldes
            if (r <= 2 * rMax): # ist das innerhalb eines Kreises?
    		    # ja!
                p = rho(r, fM, fR)           # Dichte lesen
                dx = x - R                   # Abstand vom Zielpunkt ...
                dy = y
                dr = sqrt(dx * dx + dy * dy) # ...  ist dr
                a = p / dr / dr      # Beschleunigung nach Gravitatiionsgesetz
                ax = a * dx / dr     # koordinatenweise aufteilen
                ay = a * dy / dr     # ay kann entfallen, weil insgesamt 0
                aX = aX + ax * d * d # Gesamtbeschleuinigun koordinatenweise summieren
                aY = aY + ay * d * d # aY könnte entfallen: es kompensiert sich
    aX = abs(aX)                # nur der Betrag interessiert (ist nach innen gerichtet)
    w = sqrt(aX / R)            # Kreisfrequenz omega.
    #print(R, w*R, w, aX)
    Plot(R, w * R, 3, "black")  # w*R: omega * R = absolute Geschwindigkeit
update()
done()

_________________
Uwe Pilz, Fachgruppen Kometen und Astrophysik/Algorithmen.
Oft benutzte Instrumente: Fujinon 16x70 FMT-SX-2, TMB Apo 105/650, Skywatcher Evostar 120/900 ED, Ninja Dobson 320/1440, Smartscope Dwarf-3

Besten Dank.
MfG Rudolf

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LG Rudolf S.
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Beim Beobachten von einzigartigen Deep-Sky-Objekten müssen die Tränen der Ergriffenheit zum Ohr hin abfließen.